统一术语表

统一术语表

本页统一维护全书高频术语。章节页在第一次引入关键术语时优先链接到这里；术语解释不替代正式定义，只帮助初学者判断“这个词在后面承担什么功能”。

概率与集中

次高斯 random variable / subgaussian random variable

项 说明
核心含义 tail 至少像 Gaussian 一样快衰减，等价地可用 moment growth、Orlicz norm 或 MGF 控制。
第一次系统出现 第 2 章学习笔记。
后续用途 随机向量投影、随机矩阵行、matrix deviation 的基本输入假设。

次指数 random variable / subexponential random variable

项 说明
核心含义 tail 像 $e^{-ct}$ 衰减，比次高斯弱；平方次高斯通常是次指数。
第一次系统出现 第 2 章学习笔记。
后续用途 Bernstein inequality、Hanson-Wright、二次型和协方差估计。

各向同性 / isotropic

项 说明
核心含义 $\mathbb E X=0$ 且 $\mathbb E XX^\top=I$，所有方向的二阶能量相同。
第一次系统出现 第 3 章学习笔记。
后续用途 把 $\|Ax\|_2^2$ 的期望标准化到 $m\|x\|_2^2$。

Hanson-Wright inequality

项 说明
核心含义 控制次高斯向量二次型 $X^\top A X$ 的偏差。
第一次系统出现 第 6 章学习笔记。
后续用途 covariance estimation、非独立二次型、随机矩阵偏差。

几何与离散化

epsilon-net / covering net

项 说明
核心含义 用有限点集近似无穷集合，使连续问题可转化为有限 union bound。
第一次系统出现 第 4 章学习笔记。
后续用途 operator norm、随机矩阵奇异值、Dudley integral 的离散化基础。

covering number / packing number

项 说明
核心含义 covering 量化“多少小球盖住集合”，packing 量化“能放多少彼此分离的点”。
第一次系统出现 第 4 章学习笔记。
后续用途 Dudley inequality、VC theory、随机投影下界。

Gaussian width

项 说明
核心含义 $w(T)=\mathbb E\sup_{x\in T}\langle g,x\rangle$，衡量 Gaussian 方向看到的集合大小。
第一次系统出现 第 7 章学习笔记。
后续用途 matrix deviation、$M^*$ bound、escape theorem、Dvoretzky-Milman。

Gaussian complexity

项 说明
核心含义 通常指 $\gamma(T)=\mathbb E\sup_{x\in T}|\langle g,x\rangle|$，比 width 多了绝对值对称化。
第一次系统出现 第 7 章学习笔记。
后续用途 第 8、9 章中处理非对称集合或一般偏差时更方便。

spherical width

项 说明
核心含义 常见归一化形式是 $w(T)/\sqrt n$，用于球面或随机投影尺度。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 true random projection 版本的 Dvoretzky-Milman。

随机过程与 chaining

Gaussian process

项 说明
核心含义 一族随机变量 $(X_t)_{t\in T}$，任意有限维边缘都是 Gaussian。
第一次系统出现 第 7 章学习笔记。
后续用途 Gaussian comparison、Gaussian width、Dudley 和 generic chaining。

Dudley inequality

项 说明
核心含义 用 covering number 的多尺度积分控制 subgaussian process 的上确界。
第一次系统出现 第 8 章学习笔记。
后续用途 empirical process、Monte Carlo uniform law、learning theory。

generic chaining / $\gamma_2$

项 说明
核心含义 用 admissible sequence 的最优多尺度近似代价 $\gamma_2(T)$ 描述随机过程上确界。
第一次系统出现 第 8 章学习笔记。
后续用途 Chevet inequality、general deviation、Dudley 失效时的精细估计。

VC dimension

项 说明
核心含义 衡量函数类/集合类能 shatter 多大有限集。
第一次系统出现 第 8 章学习笔记。
后续用途 uniform law of large numbers、learning theory、small ball method。

矩阵偏差与几何恢复

matrix deviation inequality

项 说明
核心含义 同时控制所有 $x\in T$ 上的 $\|Ax\|_2-\sqrt m\|x\|_2$。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 random embedding、constrained recovery、RIP、general norm deviation。

$M^*$ bound

项 说明
核心含义 用 Gaussian width 控制随机子空间切片半径。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 recovery error、random sections、Garnaev-Gluskin 型结果。

escape theorem

项 说明
核心含义 随机子空间避开集合 $T$ 的条件由 $w(T)^2$ 量级决定。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 exact sparse recovery、nullspace property、RIP 几何解释。

tangent cone

项 说明
核心含义 从真实点出发仍留在约束集合或范数球内的可行方向锥。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 basis pursuit 成功条件：随机核空间不能与坏方向锥相交。

RIP / restricted isometry property

项 说明
核心含义 随机矩阵在稀疏向量集合上近似保持 Euclidean norm。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 稀疏恢复稳定性、compressed sensing。

Chevet inequality

项 说明
核心含义 控制 Gaussian 随机矩阵在两个集合之间的双线性上确界。
第一次系统出现 第 8 章学习笔记。
后续用途 general deviation、Dvoretzky-Milman、operator norm 的几何版本。

Dvoretzky-Milman theorem

项 说明
核心含义 高维凸体的随机低维截面或投影接近 Euclidean ball。
第一次系统出现 第 9 章学习笔记。
后续用途 Banach space geometry、random projections、凸几何数据降维。
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