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高维概率：数据科学应用导论

第二版

Roman Vershynin

2026 年 2 月 19 日

BibTeX 引用信息：

R. Vershynin. High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science. 第二版，Cambridge University Press，2026。

这是一份预出版版本，可供个人免费浏览和下载。不得重新分发、转售，或用于衍生作品。版权归 Roman Vershynin 所有，2026。作者主页：https://www.math.uci.edu/~rvershyn/

原书部分	中文说明	页码	翻译	笔记
Cover, citation and contents	封面、引用信息与目录	i	译文	笔记
Preface to the Second Edition	第二版序言	vi	译文	笔记
Appetizer: Using Probability to Cover a Set	开胃篇：用概率覆盖集合	1	译文	笔记
Notes	注记	5	译文	笔记
Exercises	习题	5	译文	笔记
1 A Quick Refresher on Analysis and Probability	第 1 章分析与概率快速回顾	8	译文	笔记
1.1 Convex sets and functions	凸集与凸函数	8	译文	笔记
1.2 Norms and inner products	范数与内积	8	译文	笔记
1.3 Random variables and random vectors	随机变量与随机向量	10	译文	笔记
1.4 Union bound	并集界	12	译文	笔记
1.5 Conditioning	条件化	13	译文	笔记
1.6 Probabilistic inequalities	概率不等式	15	译文	笔记
1.7 Limit theorems	极限定理	17	译文	笔记
1.8 Notes	注记	20	译文	笔记
Exercises	习题	20	译文	笔记
2 Concentration of Sums of Independent Random Variables	第 2 章独立随机变量和的集中现象	25	译文	笔记
2.1 Why concentration inequalities?	为什么需要集中不等式？	25	译文	笔记
2.2 Hoeffding inequality	Hoeffding 不等式	28	译文	笔记
2.3 Chernoff inequality	Chernoff 不等式	30	译文	笔记
2.4 Application: median-of-means estimator	应用：均值的中位数估计量	32	译文	笔记
2.5 Application: degrees of random graphs	应用：随机图的度	34	译文	笔记
2.6 Subgaussian distributions	次高斯分布	35	译文	笔记
2.7 Subgaussian Hoeffding and Khintchine inequalities	次高斯 Hoeffding 与 Khintchine 不等式	39	译文	笔记
2.8 Subexponential distributions	次指数分布	43	译文	笔记
2.9 Bernstein inequality	Bernstein 不等式	47	译文	笔记
2.10 Notes	注记	49	译文	笔记
Exercises	习题	50	译文	笔记
3 Random Vectors in High Dimensions	第 3 章高维随机向量	59	译文	笔记
3.1 Concentration of the norm	范数的集中	60	译文	笔记
3.2 Covariance matrices and principal component analysis	协方差矩阵与主成分分析	61	译文	笔记
3.3 Examples of high-dimensional distributions	高维分布示例	66	译文	笔记
3.4 Subgaussian distributions in higher dimensions	高维中的次高斯分布	73	译文	笔记
3.5 Application: Grothendieck inequality and semidefinite programming	应用：Grothendieck 不等式与半定规划	76	译文	笔记
3.6 Application: Maximum cut for graphs	应用：图的最大割	81	译文	笔记
3.7 Kernel trick, and tightening of Grothendieck inequality	核技巧与 Grothendieck 不等式的加强	84	译文	笔记
3.8 Notes	注记	88	译文	笔记
Exercises	习题	89	译文	笔记
4 Random Matrices	第 4 章随机矩阵	101	译文	笔记
4.1 A quick refresher on linear algebra	线性代数快速回顾	101	译文	笔记
4.2 Nets, covering and packing	网、覆盖与装填	109	译文	笔记
4.3 Application: error correcting codes	应用：纠错码	114	译文	笔记
4.4 Upper bounds on subgaussian random matrices	次高斯随机矩阵的上界	116	译文	笔记
4.5 Application: community detection in networks	应用：网络中的社区检测	120	译文	笔记
4.6 Two-sided bounds on subgaussian matrices	次高斯矩阵的双侧界	124	译文	笔记
4.7 Application: covariance estimation and clustering	应用：协方差估计与聚类	125	译文	笔记
4.8 Notes	注记	129	译文	笔记
Exercises	习题	130	译文	笔记
5 Concentration Without Independence	第 5 章无独立性的集中现象	141	待补	待补
5.1 Concentration of Lipschitz functions on the sphere	球面上 Lipschitz 函数的集中	141	待补	待补
5.2 Concentration on other metric measure spaces	其他度量测度空间上的集中	146	待补	待补
5.3 Application: Johnson-Lindenstrauss lemma	应用：Johnson-Lindenstrauss 引理	151	待补	待补
5.4 Matrix Bernstein inequality	矩阵 Bernstein 不等式	153	待补	待补
5.5 Application: community detection in sparse networks	应用：稀疏网络中的社区检测	160	待补	待补
5.6 Application: covariance estimation for general distributions	应用：一般分布下的协方差估计	162	待补	待补
5.7 Notes	注记	165	待补	待补
Exercises	习题	166	待补	待补
6 Quadratic Forms, Symmetrization and Contraction	第 6 章二次型、对称化与收缩	172	待补	待补
6.1 Decoupling	解耦	172	待补	待补
6.2 Hanson-Wright inequality	Hanson-Wright 不等式	175	待补	待补
6.3 Symmetrization	对称化	179	待补	待补
6.4 Random matrices with non-i.i.d. entries	非独立同分布元素的随机矩阵	181	待补	待补
6.5 Application: matrix completion	应用：矩阵补全	182	待补	待补
6.6 Contraction principle	收缩原理	185	待补	待补
6.7 Notes	注记	186	待补	待补
Exercises	习题	187	待补	待补
7 Random Processes	第 7 章随机过程	195	待补	待补
7.1 Basic concepts and examples	基本概念与例子	196	待补	待补
7.2 Slepian, Sudakov-Fernique and Gordon inequalities	Slepian、Sudakov-Fernique 与 Gordon 不等式	199	待补	待补
7.3 Application: sharp bounds for Gaussian matrices	应用：高斯矩阵的尖锐界	205	待补	待补
7.4 Sudakov inequality	Sudakov 不等式	207	待补	待补
7.5 Gaussian width	高斯宽度	209	待补	待补
7.6 Application: random projections of sets	应用：集合的随机投影	214	待补	待补
7.7 Notes	注记	216	待补	待补
Exercises	习题	217	待补	待补
8 Chaining	第 8 章链式方法	222	待补	待补
8.1 Dudley inequality	Dudley 不等式	222	待补	待补
8.2 Application: empirical processes	应用：经验过程	228	待补	待补
8.3 VC dimension	VC 维	232	待补	待补
8.4 Application: statistical learning theory	应用：统计学习理论	242	待补	待补
8.5 Generic chaining	泛型链式方法	245	待补	待补
8.6 Chevet inequality	Chevet 不等式	250	待补	待补
8.7 Notes	注记	252	待补	待补
Exercises	习题	253	待补	待补
9 Deviations of Random Matrices on Sets	第 9 章随机矩阵在集合上的偏差	262	待补	待补
9.1 Matrix deviation inequality	矩阵偏差不等式	262	待补	待补
9.2 Random matrices, covariance estimation, and Johnson-Lindenstrauss	随机矩阵、协方差估计与 Johnson-Lindenstrauss	267	待补	待补
9.3 Random sections: the M* bound and escape theorem	随机截面：M* 界与逃逸定理	271	待补	待补
9.4 Application: high-dimensional linear models	应用：高维线性模型	274	待补	待补
9.5 Application: exact sparse recovery	应用：精确稀疏恢复	280	待补	待补
9.6 Deviations of random matrices for general norms	一般范数下随机矩阵的偏差	285	待补	待补
9.7 Two-sided Chevet inequality and Dvoretzky-Milman theorem	双侧 Chevet 不等式与 Dvoretzky-Milman 定理	288	待补	待补
9.8 Notes	注记	291	待补	待补
Exercises	习题	292	待补	待补
Hints for the exercises	习题提示	300	待补	待补
References	参考文献	314	待补	待补
Index	索引	329	待补	待补

校对说明

High-Dimensional Probability 译为“高维概率”，保留该领域常用说法。
Concentration 统一译为“集中现象”或“集中不等式”；作为章节标题时译为“集中现象”，作为具体工具时译为“集中不等式”。
Covering and packing 译为“覆盖与装填”。有的中文材料也译作“覆盖与填充”，后续若你已有固定术语，可以统一替换。
Generic chaining 译为“泛型链式方法”，保留英文关键词便于检索。

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